Serie convergente

In matematica, una serie convergente è una serie tale che il limite delle sue somme parziali è finito. Questo vuol dire che, data una successione ${\displaystyle a_{i}}$, la serie ${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }a_{i}}$ è convergente se la successione delle somme parziali

${\displaystyle S_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i},}$

ha un limite finito, cioè se esiste finito ${\displaystyle S}$ tale che per ogni ${\displaystyle \varepsilon >0}$ esiste ${\displaystyle N}$ tale che per ogni ${\displaystyle n>N}$

${\displaystyle |S_{n}-S|<\varepsilon .}$

Il numero ${\displaystyle S}$ è detto somma della serie: spesso è difficile trovare questo numero, sebbene possa essere facile capire che una serie è convergente.

La somma di due serie convergenti è ovviamente ancora convergente, così come la serie prodotta dalla moltiplicazione di una serie per uno scalare; le serie convergenti formano quindi uno spazio vettoriale sul campo dei numeri reali.

Una serie non convergente non è necessariamente detta divergente, ad esempio la serie ${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}}$ non è né convergente né divergente, in quanto la sua successione delle somme parziali oscilla tra i valori ${\displaystyle 0}$ e ${\displaystyle 1}$ e quindi non ammette limite.