Somma diretta

Disambiguazione – Se stai cercando la somma diretta tra due gruppi in notazione additiva, vedi Prodotto diretto.

In algebra lineare, la somma diretta è una costruzione tra moduli che restituisce un modulo più grande. Ad esempio, la somma diretta di due gruppi abeliani ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ è un gruppo abeliano ${\displaystyle A\oplus B}$ formato da tutte le coppie ordinate ${\displaystyle (a,b)}$ con ${\displaystyle a\in A}$ e ${\displaystyle b\in B}$. In particolare, il prodotto cartesiano di ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ è caratterizzato con una struttura di gruppo abeliano definendo la somma tra coppie ordinate ${\displaystyle (a,b)+(c,d)}$ come ${\displaystyle (a+c,b+d)}$ e la moltiplicazione come ${\displaystyle n(a,b)=(na,nb)}$ per ${\displaystyle n}$ intero. Costruzioni simili consentono di caratterizzare la somma diretta tra varie strutture algebriche come moduli, anelli o sottospazi vettoriali. La somma diretta può essere anche definita tra più addendi, ad esempio ${\displaystyle A\oplus \!B\oplus C}$.

Nel caso di un numero finito di addendi la somma diretta tra gruppi abeliani è un prodotto diretto, mentre nel caso di infiniti addendi molti autori fanno una distinzione: un elemento di una somma diretta ha tutte le componenti nulle tranne che per un numero finito di esse, mentre un elemento di un prodotto diretto può avere tutte le componenti diverse da zero.