Teorema spettrale

In algebra lineare e analisi funzionale il teorema spettrale si riferisce a una serie di risultati relativi agli operatori lineari oppure alle matrici. In termini generali il teorema spettrale fornisce condizioni sotto le quali un operatore o una matrice possono essere diagonalizzati, cioè rappresentati da una matrice diagonale in una base.

In dimensione finita, il teorema spettrale asserisce che ogni endomorfismo simmetrico di uno spazio vettoriale reale dotato di un prodotto scalare ha una base ortonormale formata da autovettori. Equivalentemente, ogni matrice simmetrica reale è simile ad una matrice diagonale tramite una matrice ortogonale.

In dimensione infinita esistono diverse formulazioni. Quella che utilizza gli operatori di moltiplicazione stabilisce che ogni operatore di moltiplicazione è un operatore autoaggiunto (densamente definito), ed ogni operatore autoaggiunto è unitariamente equivalente ad un operatore di moltiplicazione.^[1]

Il teorema spettrale fornisce anche una decomposizione canonica dello spazio vettoriale, chiamata decomposizione spettrale o decomposizione agli autovalori.