Argumentum epsilon-delta

Argumentum epsilon-delta est definitio limitis, in mathematica. Definitio dicit:

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow a}f(x)=b}$ significat

${\displaystyle \forall \epsilon >0\exists \delta >0\ {\text{ut}}\ 0<|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-b|<\epsilon }$

Hoc est, si vis valorem f(x) esse prope quantitatem b, modo elege valorem x qui sit satis prope valorem a.^[1]

Exempli gratia, quid sit ${\displaystyle \lim _{x\rightarrow 2}x^{2}}$ rogamus. Estne 4? Si ${\displaystyle |x^{2}-4|<\epsilon }$, deinde scimus vel ${\displaystyle (x^{2}-4)<\epsilon }$ (si x² > 4) vel ${\displaystyle (4-x^{2})<\epsilon }$ (si x² < 4).

Casus primus: si ${\displaystyle x^{2}-4<\epsilon }$, deinde ${\displaystyle (x+2)(x-2)<\epsilon }$, et ${\displaystyle x-2<{\frac {\epsilon }{x+2}}}$. (Quod x est prope 2, licet dicere x + 2 > 0.) Et, si x² > 4, scimus x > 2.

Casus alter: si ${\displaystyle 4-x^{2}<\epsilon }$, deinde ${\displaystyle (2+x)(2-x)<\epsilon }$, tum ${\displaystyle 2-x<{\frac {\epsilon }{2+x}}}$, hoc est ${\displaystyle -(x-2)<{\frac {\epsilon }{x+2}}}$, et hic est casus ubi x < 2.

Habemus ergo: ${\displaystyle |x-2|<{\frac {\epsilon }{x+2}}}$, quod est δ. Si vis x² esse proximum 4, igitur, valorem x elege sicut quantitas δ est satis parva. Si vis habere x² inter 3.99 et 4.01, ε = 0.01. Tum ${\displaystyle 2-x<{\frac {\epsilon }{x+2}}={\frac {0.01}{x+2}}<x-2}$. Si x = 2.1, ${\displaystyle {\frac {0.01}{x+2}}=1/410}$, et ${\displaystyle x^{2}\approx 4.0098}$, ut voluisti. Et limes est 4.

Functio dicitur continua si, omnibus x in eius dominio, ${\displaystyle \lim _{x\rightarrow a}=f(a)}$.