Algebra abstrak

Algebra abstrak ialah bidang matematik yang mengkaji struktur algebra seperti kumpulan, gelanggang, medan, modul, ruang vektor dan algebra. Istilah algebra abstrak pertama kali muncul pada abad ke-20 untuk membezakan bidang ini dengan apa yang sering dirujuk sebagai algebra, iaitu subjek tentang manipulasi ungkapan dan formula algebra yang melibatkan nombor tidak diketahui dan nyata atau kompleks, yang juga dikenali dengan nama algebra permulaan. Pembezaan ini bagaimanapun jarang dibuat dalam kebanyakan penulisan kini.

Matematik kontemporari dan fizik matematik banyak mengaplikasikan algebra abstrak; contohnya, fizik teori dikaji berdasarkan algebra Lie. Subjek seperti teori nombor algebra, topologi algebra dan geometri algebra mengaplikasi kaedah algebra ke dalam bidang matematik yang lain. Teori perwakilan, secara kasarnya, mengambil perkara yang 'abstrak' dari 'algebra abstrak', dan mengakaji sisi konkrit dari struktur diberi; lihat teori model.

Dua bidang matematik yang mengkaji sifat-sifat struktur algebra yang dilihat secara keseluruhan adalah algebra universal dan teori kategori. Struktur algebra, bersama-sama dengan hormofisme, membentuk kategori-kategori. Teori kategori ialah formalisme yang hebat dalam mengkaji dan membandingkan struktur-struktur algebra yang berbeza.

Sepertimana dalam banyak cabang matematik lain, masalah konkrit dan contoh memainkan peranan dalam pembangunan algebra. Pada penghujung kurun ke-19, kebanyakan masalah ini mempunyai kaitan dari beberapa segi dengan teori persamaan algebra. Antara tema utamanya termasuklah:

• Menyelesaikan sistem persamaan linear, yang membawa kepada matriks, penentu dan algebra linear.
• Percubaan mencari formula penyelesaian bagi persamaan polinomial am peringkat tinggi yang membawa kepada penemuan kumpulan sebagai manifestasi abstrak untuk simetri.
• Penyiasatan aritmetik untuk kuadratik dan bentuk peringkat tinggi serta persamaan Diophantine, yang terkenal dalam pembuktian teorem terakhir Fermat, yang secara langsung menghasilkan pengetahuan tentang gelanggang dan ideal.

Banyak buku teks tentang algebra abstrak bermula dengan definisi aksiomatik tentang pelbagai struktur algebra dan kemudian membentuk sifat-sifatnya, menghasilkan tanggapan salah berkenaan kemunculan dahulu aksiom dalam algebra, yang kemudiannya dijadikan motivasi dan asas untuk kajian lanjut. Bagaimanapun, turutan sebenar dalam sejarah pembangunan ilmu ini adalah sebaliknya. Contohnya nombor hiperkompleks kurun ke-19 memiliki motivasi kinematik dan fizikal tetapi menguji kefahaman. Kebanyakan teori yang kini dianggap sebahagian dari algebra bermula sebagai koleksi fakta-fakta yang berbeza dari pelbagai cabang matematik, yang mempunyai tema sepunya yang bertindak sebagai teras di mana pelbagai keputusan dikumpulkan, dan akhirnya disatukan berdasarkan konsep yang sama. Contoh tipikal untuk sintesis progresif ini dapat dilihat dalam teori kumpulan.