Teori kategori

Teori kategori ialah satu bidang matematik yang mengkaji sifat konsep-konsep matematik dengan cara yang abstrak, dengan memformalkannya sebagai koleksi-koleksi objek dan anak panah (juga dipanggil morfisme, walaupun istilah ini memiliki maksud lain yang spesifik dan bukan kategori), di mana koleksi-koleksi ini memenuhi beberapa syarat asas. Banyak bidang utama matematik yang boleh diformalkan sebagai kategori dan penggunaan teori kategori membolehkan banyak keputusan matematik yang rumit dan halus, dapat dinyatakan dan dibuktikan dengan cara yang lebih ringkas.

Antara contoh kategori ialah kategori set, di mana objek adalah set dan anak panah adalah fungsi dari satu set kepada set yang lain. Bagaimanapun, perlu diingat yang objek bagi kategori tidak semestinya set dan anak panah tidak semestinya fungsi; sebaliknya sebarang cara memformalkan konsep matematik yang memenuhi syarat-syarat asas bagi sifat objek dan anak panah adalah kategori yang sah, dan sebarang keputusan teori kategori dapat diguna pakai padanya.

Contoh kategori yang paling ringkas (yang merupakan konsep terpenting dalam topologi) ialah kategori groupoid, yang ditakrifkan sebagai satu kategori yang semua anak panah atau morfismenya adalah boleh songsang.

Kategori kini wujud dalam banyak cabang matematik, beberapa bidang sains komputer teori di mana ia berpadanan dengan jenis, dan fizik matematik di mana ia boleh diguna untuk menerangkan ruang vektor. Konsep kategori pertama kali diperkenalkan oleh Samuel Eilenberg dan Saunders Mac Lane di antara tahun 1942-1945.

Teori kategori memiliki beberapa tajuk yang diketahui bukan hanya oleh pakarnya, tetapi oleh ahli matematik yang lain. Satu istilah dari tahun 1940an, "nirmakna abstrak umum", merujuk kepada pengabstrakan tahap tinggi, berbanding cabang matematik yang lebih klasik. Algebra homologi ialah teori kategori dalam aspeknya yang menngatur dan mencadang manipulasi dalam algebra abstrak. Pengejaran gambar rajah ialah kaedah penghujahan visual dengan "anak panah" abstrak yang digabung dalam gambar rajah. Perlu diingat yang anak panah antara kategori dipanggil funktor, bergantung pada keadaan takrifan kalis tukar tertib yang khusus; selain itu, gambar rajah dan urutan kategori boleh ditakrifkan sebagai funktor (viz. Mitchell, 1965). Satu anak panah di antara dua funktor adalah satu transformasi bersahaja apabila ia bergantung pada keadaan bersahaja atau kalis tukar tertib yang tertentu. Funktor dan transformasi bersahaja adalah konsep utama dalam teori kategori.^[1]

Teori Topos ialah satu bentuk abstrak teori gemal, yang berasal dari geometri dan membawa kepada idea seperti topologi tak berguna. Satu topos boleh juga dianggap sebagai sejenis kategori khusus dengan dua aksiom topos tambahan.