Bernoulligetal

In de wiskunde zijn bernoulli-getallen rationale getallen, die een belangrijke rol in de getaltheorie spelen. Het bernoulli-getal ${\displaystyle B_{n}}$ is gedefinieerd als de coëfficiënt in de reeksontwikkeling:

${\displaystyle {\frac {x}{e^{x}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}}{n!}}x^{n}}$

Dit betekent dat:

${\displaystyle B_{n}=\left[{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}{\frac {x}{e^{x}-1}}\right]_{x=0}}$

Bernoulli-getallen spelen een belangrijke rol in de getaltheorie en hoewel zij gemakkelijk te berekenen zijn, is er geen eenvoudige beschrijving van deze getallen. Ze komen voor in Taylorreeksontwikkelingen van de tangens en de hyperbolische tangens-functies en in de formule van Euler-Maclaurin. Ook zijn ze nauw verbonden met de waarden voor de riemann-zèta-functie voor negatieve gehele getallen.

De eerste veertien bernoulli-getallen zijn:

n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
${\displaystyle B_{n}}$	1	−1/2	1/6	0	−1/30	0	1/42	0	−1/30	0	5/66	0	−691/2730	0	7/6