Complexe vlak

In de wiskunde is het complexe vlak een geometrische weergave van de complexe getallen, bestaande uit een reële as en loodrecht daarop geplaatst de imaginaire as. Het complexe vlak kan worden gezien als een aangepast cartesische vlak, waar het reële deel van een complex getal wordt weergegeven door een verplaatsing langs de x-as en het imaginaire deel door een verplaatsing langs de y-as.

Het complexe vlak wordt soms ook argandvlak genoemd, omdat dit wordt gebruikt in arganddiagrammen. Deze heten zo, omdat zij zijn genoemd naar Jean-Robert Argand, hoewel zij eerst zijn beschreven door de Noors-Deense landmeter en wiskundige Caspar Wessel. Wessels uiteenzetting werd in 1797 gepresenteerd aan de Deense Akademie. Argands werk werd in 1806 door hem zelf gepubliceerd.^[1] Arganddiagrammen worden vaak gebruikt om posities van de polen en nullen van een functie in de complexe ruimte te tekenen.

Het concept van het complexe vlak staat een meetkundige interpretatie toe van de complexe getallen. De som van twee complexe getallen is hun vectoriële som en het product van twee complexe getallen kan het gemakkelijkst in poolcoördinaten worden uitgedrukt, waar de grootte, of absolute waarde, van de twee poolcoördinaten het product is van de twee absolute waarden, en waar de resulterende hoek van het product gelijk is aan de som van de twee hoeken.

Om die reden worden arganddiagrammen vaak gebruikt om posities van de polen en nullen van een functie in de complexe ruimte te plotten. Een vermenigvuldiging met een complex getal met modulus 1 kan als een rotatie worden geïnterpreteerd. Het complexe vlak wordt vaak gebruikt om fysische processen te visualiseren. Zo wordt een harmonische trilling gezien als een cirkelbeweging om de oorsprong in het complexe vlak. De projectie op de x-as is het reële deel van de trilling, dat er in de tijd gezien uitziet als een sinus of cosinus.

1. ↑ (en) Whittaker en Watson, en:A Course of Modern Analysis, 1927. Wikipedia