Hoofdstelling van de algebra

De hoofdstelling van de algebra, een belangrijke stelling binnen de wiskunde, houdt in dat elke niet constante polynoom in één variabele met coëfficiënten die geheel, rationaal, reëel of complex zijn, ten minste één complex nulpunt heeft. Dit is equivalent met de vaststelling dat het lichaam, of veld, van de complexe getallen, ${\displaystyle \mathbb {C} }$, algebraïsch gesloten is.

De stelling houdt tevens in dat elke polynoom in één variabele

${\displaystyle a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{n}x^{n}}$, met ${\displaystyle a_{n}\neq 0}$,

van de graad ${\displaystyle n}$ in precies ${\displaystyle n}$ factoren kan worden ontbonden:

${\displaystyle a_{n}(x-b_{1})\cdot (x-b_{2})\cdot \ldots \cdot (x-b_{n})}$

Als een ${\displaystyle m}$-voudig nulpunt van een polynoom ${\displaystyle m}$ keer wordt meegeteld, heeft die polynoom in het complexe vlak dus ${\displaystyle n}$ nulpunten.

Ondanks de naam is er geen zuiver algebraïsch bewijs van de hoofdstelling bekend en vele wiskundigen zijn van mening dat zo'n bewijs ook niet bestaat.^[1] Bovendien is de stelling ook niet fundamenteel in de moderne algebra: de naam werd gegeven in een tijd toen algebra zich beperkte tot het oplossen van polynomiale vergelijkingen met reële of complexe coëfficiënten.

1. ↑ Zie § 1,9 van R. Remmerts tekst The fundamental theorem of Algebra, De hoofdstelling van de algebra.