Karakteristieke functie (kansrekening)

De karakteristieke functie van een stochastische variabele ${\displaystyle X}$ is in de kansrekening en statistiek de functie die voor reële ${\displaystyle t}$ gegeven wordt door:

${\displaystyle \varphi _{X}(t)={\mathrm {E} }\left(e^{itX}\right).}$

Er is een eenduidig verband tussen de kansverdeling en de karakteristieke functie van ${\displaystyle X}$, dat wil zeggen dat de ene te berekenen is uit de andere.

De karakteristieke functie is te berekenen als de integraal:

${\displaystyle \operatorname {E} \left(e^{itX}\right)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{itx}\ \mathrm {d} F_{X}(x),}$

waarin ${\displaystyle F_{X}}$ de verdelingsfunctie van ${\displaystyle X}$ is.

Als ${\displaystyle X}$ de kansdichtheid ${\displaystyle f_{X}}$ heeft, gaat deze integraal over in:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{itx}f_{X}(x)\ \mathrm {d} x\,}$

De karakteristieke functie bestaat voor elke verdelingsfunctie die op ${\displaystyle \mathbb {R} }$ of ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ gedefinieerd is.