Normale verdeling

Normale verdeling
Kansdichtheid  standaardnormale verdeling
Verdelingsfunctie Kleuren komen overeen met de kansdichtheden hierboven
Parameters	${\displaystyle \mu }$ locatie (reëel) ${\displaystyle \sigma ^{2}>0}$ gekwadrateerde schaal (reëel)
Drager	${\displaystyle x\in (-\infty ;+\infty )}$
Kansdichtheid	${\displaystyle {\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi \ }}}}\;\exp \left(-{\frac {\left(x-\mu \right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)}$
Verdelingsfunctie	${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(1+\mathrm {erf} \ {\frac {x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)}$
Verwachtingswaarde	${\displaystyle \mu }$
Mediaan	${\displaystyle \mu }$
Modus	${\displaystyle \mu }$
Variantie	${\displaystyle \sigma ^{2}}$
Scheefheid	0
Kurtosis	0
Entropie	${\displaystyle \ln \left(\sigma {\sqrt {2\ \pi \ e\ }}\right)}$
Moment- genererende functie	${\displaystyle M_{X}(t)=\exp \left(\mu \ t+{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}\right)}$
Karakteristieke functie	${\displaystyle \varphi _{X}(t)=\exp \left(\mu \ i\ t-{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}\right)}$
Portaal    Wiskunde

De normale verdeling of gaussverdeling, genoemd naar de Duitse wiskundige Carl Friedrich Gauss, is een continue kansverdeling met twee parameters, de verwachtingswaarde ${\displaystyle \mu }$ en de standaardafwijking ${\displaystyle \sigma }$, waarvan de kansdichtheid wordt gegeven door de volgende Gaussische functie:

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi \ }}}}\ e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}}$

De kansdichtheid is symmetrisch rond ${\displaystyle \mu }$, hoog in het midden, en wordt naar lage en hoge waarden steeds kleiner zonder ooit echt nul te worden. Door de vorm wordt deze ook wel klokkromme of gausscurve genoemd.

De normale verdeling wordt wel genoteerd als ${\displaystyle N(\mu ,\sigma ^{2})}$-verdeling, wat wil zeggen dat het een normale verdeling is met verwachtingswaarde ${\displaystyle \mu }$ en variantie ${\displaystyle \sigma ^{2}}$.

Zoals voor elke kansdichtheid is de integraal over het hele definitiegebied precies gelijk aan 1:

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{+\infty }{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi \ }}}}\ e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}{\rm {d}}x=1}$

De normale verdeling is een speciaal geval van een alfa-stabiele verdeling.