Open verzameling

In de metrische topologie en aanverwante gebieden van de wiskunde wordt een verzameling, ${\displaystyle U}$, open genoemd, indien, intuïtief gesproken, vanaf elk punt ${\displaystyle x}$ in ${\displaystyle U}$ men een infinitesimaal kleine beweging in elke richting kan maken en in alle gevallen nog steeds deel uitmaakt van de verzameling ${\displaystyle U}$. Met andere woorden, de afstand tussen elk punt ${\displaystyle x}$ in ${\displaystyle U}$ en de rand van ${\displaystyle U}$ is altijd groter dan nul.

Men kan dit illustreren aan de hand van het plaatje hiernaast. Intuïtief is het rode gebied zonder rand een open verzameling: rond elk punt ${\displaystyle x}$ kan men een omgeving (gebiedje), ${\displaystyle O}$ construeren dat helemaal om ${\displaystyle x}$ heen ligt, maar toch in zijn geheel ook deel uitmaakt van ${\displaystyle U}$. Een verzameling, waarvan het complement open is, heet gesloten. In ons voorbeeld is de blauwe cirkel een gesloten verzameling.

Zie het artikel over topologische ruimten voor de precieze eigenschappen, waaraan de topologie (de collectie open verzamelingen van een topologische ruimte) moet voldoen. De bekendste voorbeelden van open verzamelingen zijn de open bollen in een metrische ruimte ${\displaystyle X}$ met metriek ${\displaystyle d}$. Dit zijn verzamelingen van de vorm

${\displaystyle \{y\in X\mid d(x,y)<r\}}$

voor gegeven ${\displaystyle x\in X}$ en ${\displaystyle r}$ een reëel getal groter dan 0.

Beschouw als een verder voorbeeld, het open interval, ${\displaystyle (0,1)}$, bestaande uit alle reële getallen ${\displaystyle x}$ met ${\displaystyle 0<x<1}$. De topologie is hier de topologie van de Euclidische ruimte op de reële getallenlijn. We kunnen dit op twee manieren bekijken. Aangezien elk punt in het interval verschilt van 0 en 1, is de afstand vanaf dat punt tot de rand altijd niet-nul. Of equivalent uitgedrukt, voor elk punt binnen het interval kunnen wij een infinitesimaal klein stukje in enige richting bewegen zonder de rand te raken, terwijl we nog steeds nog binnen het interval blijven. Het interval ${\displaystyle (0,1]}$, bestaande uit alle getallen ${\displaystyle x}$ met ${\displaystyle 0<x\leq 1}$, is niet open in de topologie van de reële getallenlijn; als men start in ${\displaystyle x=1}$ leidt zelfs een infinitesimale beweging in de positieve richting ertoe, dat men buiten het interval ${\displaystyle (0,1]}$ zit.