Perfect getal

Een perfect getal of volmaakt getal is een positief natuurlijk getal dat gelijk is aan de som van zijn echte delers (niet het getal zelf; 1 is een echte deler).

• Is ${\displaystyle s(n)}$ de som van alle echte delers van ${\displaystyle n}$, dan is ${\displaystyle n}$ een perfect getal als ${\displaystyle s(n)=n}$.
• Is ${\displaystyle \sigma (n)}$ de som van alle positieve delers van ${\displaystyle n}$ (dus inclusief 1 en ${\displaystyle n}$ zelf), dan is ${\displaystyle n}$ perfect als ${\displaystyle \sigma (n)=2n}$.

De Oude Grieken kenden alleen de eerste vier perfecte getallen (zie de tabel).

getal	som van de echte delers	ontbinding
6	1 + 2 + 3	${\displaystyle 2^{1}(2^{2}-1)}$
28	1 + 2 + 4 + 7 + 14	${\displaystyle 2^{2}(2^{3}-1)}$
496	1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248	${\displaystyle 2^{4}(2^{5}-1)}$
8128	1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064	${\displaystyle 2^{6}(2^{7}-1)}$

Het vijfde perfecte getal is ${\displaystyle 2^{12}(2^{13}-1)=33.550.336}$.

Opmerking

De tussenliggende kandidaat-getallen ${\displaystyle 2^{8}(2^{9}-1)=130.816}$ en ${\displaystyle 2^{10}(2^{11}-1)=2.096.128}$ zijn niet perfect. Dit kan ook worden aangetoond via mersennepriemgetallen, aangezien ${\displaystyle 2^{9}-1=511=7\cdot 73}$ en ${\displaystyle 2^{11}-1=2047=23\cdot 89}$ geen priemgetallen zijn.