Ring (wiskunde)

In de ringtheorie, een deelgebied van de abstracte algebra, is een ring een algebraïsche structuur, die uit een verzameling ${\displaystyle V}$ bestaat, waarop twee bewerkingen zijn gedefinieerd die intuïtief overeenkomen met optellen en vermenigvuldigen. Deze bewerkingen zijn zodanig dat de ring met betrekking tot de optelling een commutatieve groep is en dat de vermenigvuldiging associatief is en distributief over de optelling.

De gehele getallen ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, de vierkante matrices en de verzameling van polynomen zijn voorbeelden van ringen. De rationale getallen ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ en de reële getallen ${\displaystyle \mathbb {R} }$ zijn met de gebruikelijke optelling en vermenigvuldiging voorbeelden van ringen, maar dat zijn ook velden (Be) of lichamen (Ned).

Het begrip ring, dat uit onderstaande definitie van Emmy Noether afkomstig is, speelt een belangrijke rol in veel gebieden van de zuivere wiskunde, met name de abstracte algebra. Om zich te kwalificeren als een ring, moet de verzameling samen met de beide operaties voldoen aan bepaalde voorwaarden: de verzameling moet onder optelling een commutatieve groep en onder vermenigvuldiging een monoïde zijn.^[1] Hoewel deze operaties bekend zijn uit vele wiskundige structuren, zoals de talstelsels van de gehele getallen, kunnen zij ook zeer algemeen een breed scala van wiskundige objecten betreffen. Daardoor kunnen objecten van zeer verschillende wiskundige oorsprong op een flexibele manier, met behoud van essentiële structurele aspecten, in de abstracte algebra en daarbuiten worden bestudeerd. De tak van de wiskunde die ringen bestudeert staat bekend als de ringtheorie.^[2]

Ringen komen fundamenteel overeen met de getaltheorie en de lineaire algebra. De getaltheorie kent verschillende overeenkomstige stellingen in de ringtheorie. De hoofdstelling van de rekenkunde komt bijvoorbeeld overeen met een bepaalde speciale klasse van ringen die bekend staan als unieke factorisatiedomeinen. De theorie van matrixringen is bijvoorbeeld een opvallend gevolg van de wijze waarop de niet-commutatieve ringtheorie kan worden gebruikt om de fundamentele natuurwetten die ten grondslag liggen aan de speciale relativiteitstheorie, en symmetriefenomenen in de moleculaire scheikunde, beter te begrijpen.

Te beginnen bij Richard Dedekind in de jaren 1880, is het concept van een ring ontstaan uit pogingen om de laatste stelling van Fermat te bewijzen. Andere gebieden uit de wiskunde, voornamelijk de getaltheorie, droegen aan de ringtheorie bij, maar in de jaren 1920 kreeg de theorie door Emmy Noether, Emil Artin, Wolfgang Krull en anderen een vaste en algemene vorm.^[3] De moderne ringtheorie is een zeer actieve wiskundige discipline en geeft ringen hun eigen bestaansrecht. Ringtheoretici maken onderscheid tussen de theorie van de commutatieve ringen en niet-commutatieve ringen. Deze laatste theorie behoort tot de algebraïsche getaltheorie en de algebraïsche meetkunde. De niet-commutatieve delingsringen zijn hiervan een onderwerp. De niet-commutatieve meetkunde is sinds de ontdekking in de jaren 1980 door Alain Connes van een verband tussen de niet-commutatieve ringtheorie en de meetkunde uitgegroeid tot een actieve discipline binnen de ringtheorie.^[4]

Om ringen te onderzoeken hebben wiskundigen verschillende begrippen bedacht om ringen in kleinere, beter begrijpelijke stukken op te delen, zoals idealen, quotiëntringen en enkelvoudige ringen. Er bestaat de volgende hiërarchie:

Lichamen/velden ${\displaystyle \subset }$ euclidische domeinen ${\displaystyle \subset }$ hoofdideaaldomeinen ${\displaystyle \subset }$ unieke factorisatiedomeinen ${\displaystyle \subset }$ integriteitsgebieden ${\displaystyle \subset }$ commutatieve ringen ${\displaystyle \subset }$ ringen.

1. ↑ en wel zo dat de vermenigvuldiging distributief is over de optelling
2. ↑ Herstein, 1964, §3, blz. 83
3. ↑ (en) The development of Ring Theory. Geschiedenis van de ringtheorie, gearchiveerd
4. ↑ A Connes. Noncommutative Geometry, 1994. gearchiveerd