Ringtheorie

In de wiskunde is de ringtheorie de studie van ringen, algebraïsche structuren, waar de operaties optellen en vermenigvuldigen zijn gedefinieerd en vergelijkbare eigenschappen hebben als bij de gehele getallen. De ringtheorie bestudeert de structuur van ringen, hun representaties, of anders gezegd modulen, speciale klassen van ringen (groepenringen, delingsringen, universele envelopperende algebra's, evenals een scala aan eigenschappen die zowel in de ringtheorie zelf als voor haar toepassingen van belang bleken te zijn, zoals homologische eigenschappen en polynomiale identiteiten.

Commutatieve ringen worden veel beter begrepen dan niet-commutatieve ringen. Door de intieme connecties met de algebraïsche meetkunde en de algebraïsche getaltheorie, die beide veel natuurlijke voorbeelden van commutatieve ringen aandragen, is de theorie van de commutatieve ringen, die eerder als een onderdeel van de commutatieve algebra en de lichamentheorie wordt beschouwd dan als een onderdeel van de algemene ringtheorie, heel verschillend van smaak dan de theorie van haar niet-commutatieve tegenhangers. Een vrij recente trend die in de jaren 1980 met de ontwikkeling van de niet-commutatieve meetkunde en met de ontdekking van de kwantumgroepen is begonnen, probeert de situatie om te draaien door de theorie van bepaalde categorieën van niet-commutatieve ringen op een meetkundige manier op te bouwen alsof zij ringen van functies op (niet-bestaande) 'niet-commutatieve ruimten' waren.