Russells paradoks

Russells paradoks vart formulert av Bertrand Russell i 1901, og viser at den naive mengdelæra til Cantor og Frege inneheld sjølvmotseiingar. La M vere mengda av alle mengder som ikkje inneheld seg sjølv,

${\displaystyle M=\{A|A\notin A\}.}$

Denne definisjonen fører til ei motseiing, når ein prøver å avgjere om M sjølv er eit element i M: Reknar ein at M ikkje er eit element i M, altså at M ikkje inneheld seg sjølv, så oppfyller M eigenskapen som medfører medlemskap i M, og er dermed eit element i M. Og motsett: Om ein reknar at M er eit element i M, så fører medlemskapen til at M må ha eigenskapen som definerer alle medlemmane, nemleg å ikkje innehalde seg sjølv, og dermed er ikkje M eit element i M.

${\displaystyle M\in M\Rightarrow M\notin M}$

${\displaystyle M\notin M\Rightarrow M\in M}$

Det finst mange formuleringar av Russells paradoks. Ein kjend versjon er barberaren som barberer alle som ikkje barberar seg sjølv. Barberer barberaren seg sjølv?

At det var mogeleg å formulere eit paradoks i den naive mengdelæra, gjorde at ein så det naudsynt å bygge opp mengdelæra på ein annan måte. I aksiomatisk mengdelære kan ikkje «mengda av alle mengder som ikkje inneheld seg sjølv» vere ei mengd, og paradokset blir dermed unngått.