Snop (matematyka)

Snop (fr. faisceau) – trójka uporządkowana ${\displaystyle ({\mathcal {F}},\pi ,{\mathcal {X}})}$ składająca się z przestrzeni topologicznej ${\displaystyle {\mathcal {F}},}$ przestrzeni Hausdorffa ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ oraz lokalnie homeomorficznej surjekcji ${\displaystyle \pi \colon {\mathcal {F}}\to {\mathcal {X}}}$^[1].

Zamiast ${\displaystyle ({\mathcal {F}},\pi ,{\mathcal {X}})}$ często pisze się ${\displaystyle ({\mathcal {F}},\pi )}$ albo ${\displaystyle ({\mathcal {F}}_{\mathcal {X}}),}$ albo ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$^[2].

Przestrzeń ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ nazywana jest bazą snopa, a przekształcenie ${\displaystyle \pi }$ projekcją snopa. Dla każdego ${\displaystyle x\in {\mathcal {X}}}$ zbiór ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}=\pi ^{-1}(x)}$ jest nazywany włóknem snopa nad punktem ${\displaystyle x}$^[1].

Jeśli ${\displaystyle U\subset {\mathcal {X}},}$ to sekcją snopa ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ nad ${\displaystyle U}$ nazywa się taką funkcję ciągłą ${\displaystyle \mu \colon U\to {\mathcal {F}},}$ że ${\displaystyle \pi \circ \mu (x)=x.}$ Zbiór wszystkich sekcji snopa ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ nad ${\displaystyle U}$ jest oznaczany przez ${\displaystyle \Gamma (U,{\mathcal {F}})}$^[1].

Włókna snopa są często wyposażane w struktury algebraiczne: grupy, pierścienia lub modułu^[1].

Snopy umożliwiają połączenie w jednym własności lokalnych z własnościami globalnymi obiektów matematycznych (np. funkcji). Własności lokalne są formułowane w języku elementów zbiorów ${\displaystyle \Gamma (U,{\mathcal {F}}),}$ gdzie zbiór ${\displaystyle U}$ jest małym otoczeniem punktu bazy, a własności globalne są wyrażane w języku elementów zbioru ${\displaystyle \Gamma ({\mathcal {X}},{\mathcal {F}})}$^[1].