Systemy pozycyjne

Systemy pozycyjne – metody zapisywania liczb (in. systemy liczbowe) w taki sposób, że w zależności od pozycji danej cyfry w ciągu, oznacza ona wielokrotność potęgi pewnej liczby uznawanej za bazę danego systemu. Np. powszechnie używa się systemu dziesiętnego, w którym za bazę przyjmuje się liczbę dziesięć. Tym samym napis 46 532 oznacza $4\times 10^{4}+6\times 10^{3}+5\times 10^{2}+3\times 10^{1}+2\times 10^{0}=46\ 532.$

System pozycyjny umożliwia też zapisywanie ułamków, przy czym liczby wymierne składają się albo ze skończonej liczby znaków, albo są od pewnego miejsca okresowe. Np. 3,1415 rozumiemy jako $3\times 10^{0}+1\times 10^{-1}+4\times 10^{-2}+1\times 10^{-3}+5\times 10^{-4},$ a ${\frac {1}{3}}=0{,}333\ldots$ jako $3\times 10^{-1}+3\times 10^{-2}+3\times 10^{-3}+\ldots$

Obok dziesiętnego systemu liczbowego, używanego w codziennym życiu, warto wymienić też:

dwójkowy system liczbowy – używany przez komputery, jednej cyfrze odpowiada jeden bit informacji;
ósemkowy system liczbowy – używany w informatyce, jednej cyfrze odpowiadają 3 bity;
dwunastkowy system liczbowy – stosowany m.in. przez Celtów, a także przypisany fikcyjnym elfom w Śródziemiu;
szesnastkowy system liczbowy – używany w informatyce, gdyż jednej cyfrze odpowiadają 4 bity, a bajtowi informacji odpowiadają dwie cyfry szesnastkowe; dodatkowe cyfry oznacza się jako A, B, C, D, E, F (odpowiednio: 10, 11, 12, 13, 14, 15);
sześćdziesiątkowy system liczbowy – stosowany w starożytności przez cywilizację doliny Tygrysu i Eufratu, a także przy mierzeniu czasu (1 godzina = 60 minut = 60 · 60 sekund = 60 · 60 · 60 tercji = 60 · 60 · 60 · 60 kwart) oraz kątów.

Zapis liczb ujemnych wymaga zwykle użycia dodatkowego znaku („−”). Aby tego uniknąć można przyjąć za bazę liczbę ujemną (np. −2), wprowadzić cyfry o wartości ujemnej (np. zestaw cyfr −1, 0, +1 przy bazie 3), albo zastosować specjalny kod (np. U2).

Zestawienie przykładowych systemów pozycyjnych
Trójkowy zrównoważony o cyfrach 0, +(1), −(1)	Dwójkowy	O bazie −4	Szesnastkowy	Dziesiętny
−++−	−10000	1300	−10	−16
−++0	−1111	1301	−F	−15
−+++	−1110	1302	−E	−14
−−−	−1101	1303	−D	−13
−−0	−1100	30	−C	−12
−−+	−1011	31	−B	−11
−0−	−1010	32	−A	−10
−00	−1001	33	−9	−9
−0+	−1000	20	−8	−8
−+−	−111	21	−7	−7
−+0	−110	22	−6	−6
−++	−101	23	−5	−5
−−	−100	10	−4	−4
−0	−11	11	−3	−3
−+	−10	12	−2	−2
−	−1	13	−1	−1
0	0	0	0	0
+	1	1	1	1
+−	10	2	2	2
+0	11	3	3	3
++	100	130	4	4
+−−	101	131	5	5
+−0	110	132	6	6
+−+	111	133	7	7
+0−	1000	120	8	8
+00	1001	121	9	9
+0+	1010	122	A	10
++−	1011	123	B	11
++0	1100	110	C	12
+++	1101	111	D	13
+−−−	1110	112	E	14
+−−0	1111	113	F	15
+−−+	10000	100	10	16

Obok opisanych powyżej potęgowych systemów pozycyjnych istnieje cały szereg systemów pozycyjnych o innej konstrukcji. Są to np.: