Transformada de Mellin

Em matemática a transformada de Mellin de uma função^{[nota 1]} ${\displaystyle f}$, definida sobre o eixo real positivo, é a integral

${\displaystyle {\mathcal {M}}\{f(t)\}\;=\;F(s)\;=\;\int _{0}^{\infty }f(t)\cdot t^{s-1}\;dt\qquad (1a)}$

para a variável complexa s, desde que a integral seja convergente.

A transformada é denominada em lembrança ao matemático finlandes Hjalmar Mellin. Na literatura corrente esta transformada é às vezes expressa com um fator normalizante ${\displaystyle 1 \over {\Gamma (s)}}$, sendo ${\displaystyle \Gamma (s)}$ a função gama.

A transformada de Mellin se relaciona com a transformada de Fourier e com a transformada de Laplace, mediante uma substituição de variáveis conveniente (ver detalhes abaixo).

Sob condições determinadas existe a transformação inversa, e neste caso

${\displaystyle f(x)={\mathcal {M}}^{-1}\{F(s)\}\;=\;{\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }F(s)\cdot x^{-s}\;ds\qquad (1b)}$

com c adequadamente escolhido.

Mediante a transformada de Mellin pode ser estabelecida uma relação entre uma série de Dirichlet e uma série de potências. Sejam

${\displaystyle f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n^{-s}}$ e ${\displaystyle F(z)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}z^{n}}$

com os mesmos ${\displaystyle a_{n}}$. Então

${\displaystyle f(s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }F(e^{-t})t^{s-1}dt}$.

Para todos os ${\displaystyle a_{n}=1}$, resulta para ${\displaystyle f}$ a função zeta de Riemann, e portanto

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{s-1}}{e^{t}-1}}dt}$^[1][2][3][4]

A transformada de Mellin pode ser usada na solução de equações diferenciais e de equações integrais, o que a torna útil em ramos da Física e da Engenharia (ver exemplos).

Uma série convergente pode ser convertida, por meio da transformada de Mellin, em uma integral ou em uma outra série de convergência mais rápida (ver detalhes abaixo). Assim, a transformada também é útil em aplicações de cálculo numérico puro.

Em análise matemática, uma transformação similar homônima, que aqui chamaremos transformada dual de Mellin para evitar confusões, é definida em um espaço L² por

${\displaystyle {\bar {\mathcal {M}}}\{f(\nu )\}\;=\;{\bar {F}}(\beta )\;=\;\int _{0}^{\infty }f(\nu )\cdot \nu ^{r+i2\pi \beta }\;d\nu \qquad |\;r\;>\;0\qquad (1c)}$

e também apresenta propriedades úteis; a principal delas, a de ser um operador unitário num espaço de Hilbert convenientemente definido. As variáveis ν e β são números complexos adimensionais. Essa transformação é um caso especial da equação (1a) onde a parte real de s (s = α + iβ) é mantida fixa (r = α - 1).

Sua versão discreta, a transformada discreta de Mellin encontra várias aplicações práticas em análise de sinais.

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