Premica

Geometrija
Projeciranje krogle na ravnino.
Oris Zgodovina
Veje Evklidska Neevklidska (Eliptična (Sferična) Hiperbolična) Nearhimedska geometrija Projektivna Afina Sintetična Analitična Algebraična (Aritmetična Diofantska) Diferencialna (Riemannova Simplektična Diskretna diferencialna) Kompleksna Končna Diskretna/Kombinatorična (Digitalna) Konveksna Računalniška Fraktalna Vpadna
Koncepti Značilnosti Razsežnost Konstrukcije z ravnilom in šestilom Kot Krivulja Diagonala Ortogonalnost (Pravokotnost) Vzporednost Presečišče Kongruenca Podobnost Simetrija
Ničrazsežni prostor Točka
Enorazsežni prostor Premica (Daljica Poltrak) Dolžina
Dvorazsežni prostor Ravnina Ploščina Večkotnik Trikotnik Višina Hipotenuza Pitagorov izrek Paralelogram Kvadrat Pravokotnik Romb Romboid Štirikotnik Trapezoid Deltoid Krog Premer Obseg Ploščina
Trirazsežni prostor Prostornina Kocka (Kuboid) Valj Piramida Krogla
Štiri- / večrazsežni prostor Teserakt Hipersfera
Geometristi
po imenu Aida Arjabhata I. Ahmes Alhacen Apolonij Arhimed Atiyah Baudhajana Bolyai Brahmagupta Cartan Coxeter Čang Descartes Evklid Euler Gauss Gromov Hajam Hilbert Jyeṣṭhadeva Kātyāyana Klein Lobačevski Manava Minkowski Mingatu Pascal Pitagora Paramešvara Poincaré Riemann Sakabe Sijzi at-Tusi Veblen Virasena Yang Hui al-Yasamin seznam geometristov
po obdobju pr. n. št. Ahmes Baudhajana Manava Pitagora Evklid Arhimed Apolonij 1–1400 Čang Kātyāyana Arjabhata I. Brahmagupta Virasena Alhacen Sijzi Hajam al-Jasamin at-Tusi Yang Hui Paramešvara 1400–1700 Jyeṣṭhadeva Descartes Pascal Minggatu Euler Sakabe Aida 1700–1900 Gauss Lobačevski Bolyai Riemann Klein Poincaré Hilbert Minkowski Cartan Veblen Coxeter Sedanjost Atiyah Gromov
p p u

Prémica je poleg točke in ravnine eden osnovnih pojmov geometrije. Premica je v grobem rečeno (neskončno) tanek, (neskončno) dolg, raven geometrijski objekt. Na premici je razdalja med točkama najmanjša (v evklidski geometriji). Na obeh straneh omejen del premice imenujemo daljica, na eni strani omejen del premice pa poltrak.

Dve različni premici se sekata v največ eni točki, dve različni ravnini se sekata v največ eni premici. To spoznavno predstavo premice lahko določno oblikujemo na različne načine.

Če geometrijo razvijemo aksiomatsko (kot v Evklidovih Elementih in kasneje v Hilbertovem delu Osnove geometrije), potem premica sploh ni določena in je označena aksiomatsko s svojimi značilnostmi. »Vse, kar zadovoljuje aksiomom premice, je premica«. Medtem, ko je Evklid sicer določil premico kot »dolžino brez širine«, kasneje takšne predstave ni uporabljal.

V evklidskem prostoru ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ (in podobno v vseh drugih vektorskih prostorih) določimo premico L kot podmnožico oblike:

${\displaystyle L=\{\mathbf {a} +t\mathbf {b} \mid t\in \mathbb {R} \}\!\,,}$

kjer sta a in b dana vektorja v ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, pri čemer je b neničelen. Vektor b opisuje smer premice, a pa je točka na premici. Z različno izbiro a in b lahkpo pridelamo enako premico.

Pokazati se da, da v ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ vsako premico L opišemo z linearno enačbo oblike:

${\displaystyle L=\{(x,y)\mid ax+by=c\}\!\,}$

z določenimi realnimi koeficienti a, b in c, kjer a in b nista oba hkrati enaka nič. Pomembna značilnost teh premic je njihova strmina. V ravninskem kartezičnem koordinatnem sistemu je premica graf linearne funkcije:

${\displaystyle y=kx+n\!\,,}$

kjer je k smerni koeficient premice, n pa odsek na ordinatni osi.

Še bolj odmišljeno si predstavljamo realno premico kot prototip premice in privzamemo, da so točke na njej v enolični povezavi z realnimi števili. Pri tem lahko uporabimo tudi hiperrealna števila ali celo dolgo premico iz topologije.

»Premost« premice kot značilnost najmanjše razdalje med točkami lahko posplošimo in vodi do zamisli o geodetkah na odvedljivih mnogoterostih.