Aleftal

Inom mängdteorin används alef-tal för att ange kardinaliteten, det vill säga antalet element, i oändliga mängder. Alef är den första bokstaven i det hebreiska alfabetet (ℵ). Det finns oändligt många Alef-tal och de betecknas ℵ₀, ℵ₁, ℵ₂ och så vidare.^[1]

${\displaystyle \aleph _{0}}$ (alef-noll) är kardinaltalet för alla uppräkneligt oändliga mängder. Exempel på sådana mängder är de naturliga talen och heltalen.

${\displaystyle \aleph _{1}}$ (alef-ett) är kardinaltalet för mängden av alla icke-uppräkneligt oändliga ordinaltal. Enligt den så kallade kontinuumhypotesen är detta kardinaltal lika med kardinaltalet för mängden av alla reella tal, det vill säga ℵ₁ = 2^ℵ₀.

${\displaystyle \aleph _{2}}$ (alef-två) är kardinaltalet för mängden av alla ordinaltal av kardinalitet Alef-1.

Efter talen ℵ₀, ℵ₁, ℵ₂,… följer ℵ_ω som är ett singulärt kardinaltal.

Mängden av reella tal är alltså inte av storleken Alef-0, utan större. Denna mängd säges därför istället vara ett kontinuum, "har kontinuums mäktighet". Av Cantors sats följer att det inte finns någon gräns på hur stora oändligheter vi kan bilda.^[2]

Om man låter P(A) beteckna potensmängden av mängden X gäller till exempel: X < P(X) < P(P(X)) < …, även för oändliga mängder X.