Costante di Legendre

Costante di Legendre
Simbolo	B
Valore	1
Origine del nome	Adrien-Marie Legendre
I grafici mostrano rispettivamente i primi 105 e 107 valori della successione nella definizione della costante di Legendre (in rosso). Nel primo grafico la successione sembra convergere a 1.08366 (la linea blu) come congetturato da Legendre, ma in realtà converge a 1 (la linea nera).

La costante di Legendre è una costante matematica che appare nella formulazione di Legendre del teorema dei numeri primi. Essa è definita come

${\displaystyle B=\lim _{n\rightarrow \infty }\ln(n)-{n \over \pi (n)},}$

dove ${\displaystyle \pi (x)}$ è il numero dei primi inferiori a ${\displaystyle x}$.

Il valore effettivo della costante è stato oggetto di numerosi studi; è stato infine dimostrato da Charles Jean de la Vallée-Poussin che essa vale 1, per cui il suo utilizzo riveste ad oggi unicamente un valore storico.

Legendre aveva congetturato nel 1796 che π(x) è asintotico a

${\displaystyle \pi (x)\sim {\frac {x}{\ln(x)-B}},}$

ove B è una qualunque numero reale, ipotizzando inoltre che, tra tutte le possibili scelte di b, la migliore approssimazione è quella che si ottiene scegliendo B = 1,08366. Tuttavia, la dimostrazione del Teorema dei numeri primi (con la stima del termine d'errore) provata da de la Vallée-Poussin nel 1899, implica che la migliore approssimazione si ottiene con B = 1, contrariamente a quanto predetto da Legendre.